онтрольна€ по математике

Ќекоторые приложени€ двойных интегралов

†≈сли подынтегральна€ функци€ f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрировани€:

.

≈сли область D зан€та тонкой пластинкой и †Ц поверхностна€ плотность распределени€ неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

ћасса пластинки: m = .

—татический момент относительно оси Ox:

.†(11)

—татический момент относительно оси Oy: My = .

¬се перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в пол€рных координатах, переход€ к соответствующему повторному интегралу.

“ройной интеграл

¬ычисление тройного интеграла в декартовых координатах

ѕусть функци€ 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. “ройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: , где .

≈сли область V Ц правильна€ в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств: †где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) Ц это уравнени€ поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).

†≈сли область D можно задать системой неравенств

†то

¬ этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

«десь каждый внутренний интеграл вычисл€етс€ по Ђсвоейї переменной интегрировани€ в предположении, что переменные интегрировани€ внешних интегралов остаютс€ посто€нными.

—уществует всего 6 вариантов сведени€ тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного пор€дка интегрировани€).

 ратные и криволинейные интегралы

ƒвойной интеграл в декартовых координатах

ѕусть функци€ определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости OXY. –азобьем область D произвольным образом на элементарные €чейки , в каждой из которых зафиксируем точку . —оставим сумму , называемую интегральной, котора€ соответствует данному разбиению D на части и данному выбору точек .

≈сли существует предел последовательности интегральных сумм при Ц диаметры €чеек ) и этот предел не зависит ни от способа разбиени€ области D на элементарные €чейки, ни от выбора точек , то он называетс€ двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначаетс€ .

¬ычисление двойного интеграла сводитс€ к вычислению двукратных (повторных) интегралов. ѕусть область D ограничена кривыми , причем , а функции непрерывны на отрезке (рис.1).

ѕр€ма€, параллельна€ оси OY, пересекает границу области D не более чем в двух точках. “акую область D называют простой и правильной в направлении оси OY. “oгда

,

–ис. 1

причем сначала вычисл€етс€ внутренний интеграл по переменной Y, а полученный интеграл интегрируетс€ по X.

≈сли на отрезке [a,b] верхн€€ или нижн€€ граница области D

–ис. 2

задаетс€ несколькими аналитическими выражени€ми, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области (рис.2), причем двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме двойных интегралов по полученным област€м.

¬ том случае, когда область D ограничена кривыми , непрерывными на [c,d], пр€мыми y = c и y = d, область D €вл€етс€ простой и правильной в направлении оси O’ (рис. 3).

–ис. 3


–Ш–ї–Є –њ—А–µ–Є–Љ—Г—Й–µ—Б—В–≤–∞ –і–Њ—Б—В–∞–≤–Ї–Є –∞–≤—В–Њ –Є–Ј —Б—И–∞ –≤ –Ь–Њ—Б–Ї–≤–µ Ќа главную