Контрольная по математике

Задача 2. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.

Решение.

Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).

Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:

F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =

= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;

F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =

= 4x2ez + 4y;

F = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =

= 4x2yez – sin (x3 – z).

По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):

 

По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):

.

Ответы: ;

.

Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где x = cos3t, . Найти полную производную .

Решение. Используя формулу (4), получаем:

.

Подставив в полученный результат x = cos3t, , получим выражение полной производной   через независимую переменную t:

Ответ: .

Замечание. .

Вычисление криволинейного интеграла производят по формулам:

а) если кривая АВ задана уравнением , то , где a и b – это абсциссы точек А и В кривой;

б) если прямая АВ задана параметрическими уравнениями , то

где – это значения параметра t, отвечающие соответственно точкам А и В.

Линейный интеграл, взятый по замкнутому контуру, называется циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура и обозначается Ц= , причем за положительный обход контура принимается обход против часовой стрелки.

Пример 5. Вычислить , если L – дуга параболы , расположенная над осью OX и пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Решение. Уравнение кривой , , началу обхода по кривой соответствует точка с абсциссой x = 0, а концу – точка с абсциссой =2 (в этих точках парабола пересекает ось OX). Тогда имеем

.


На главную