Контрольная по математике

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Определение функции нескольких переменных

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).

Пример. .

Аналогично определяются функции трёх и более переменных.

Примеры.  – функция трёх переменных;

 – функция n переменных.

Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).

 

Частные производные ФНП

Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример.  Þ

Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости

Пусть область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащем в ограничиваемая контуром область также целиком содержится в .

Пример односвязной области: круг.

Пример неодносвязной области: круг с выколотой точкой. содержит выколотую точку, а - нет, следовательно не входит в целиком.

Теорема 1. Пусть - односвязная область, . Условие, что равносильно тому, что всюду в этой области .

Доказательство.

  1. . Если всюду в выполнено равенство , то по формуле Грина .
  2. . Предположим, что в области есть точка , в которой . Пусть, для определенности, . Тогда существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим

.

По формуле Грина . Это противоречит предположению о том, что должен быть равен 0.

Определение. Пусть - область, , - контур. Будем говорить, что не зависит от формы пути в, если - контуров с началом в точке и концом в точке , .

Теорема 2. Пусть - область. Условие независимости от формы пути в равносильно тому, что для любого замкнутого контура .

Доказательство.

  1. (). Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть - замкнутый контур в . Выберем на две произвольные точки и и рассмотрим соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом состоит из и проходимого в противоположном направлении контура . По условию, . Значит, .
  2. (). Пусть для любого контура


На главную