Контрольная по математике

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил  денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Необходимо найти размер вклада  через  лет.

Пусть вклад будет невостребованным целый год, тогда его прирост , а вся сумма . За второй год прирост , а вся сумма

.

Аналогично

, ..., ,

т.е. при р % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в   раз. Динамическое программирование — один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги). Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием — управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года (квартала и т.д.) по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, финансированию и т.д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально возможного объема продукции или прибыли.

Если вклад сняли через полгода и снова положили его на полгода, то прирост за первое полугодие будет , а за второе – . Следовательно, вся сумма за год будет

.

Аналогично, если брать из банка вклад и снова его ложить 3 раза на год, то за год сумма вклада будет следующей:

,

а размер вклада за  лет при  начислениях составит

.  (4.30)

Будем предполагать, что проценты по вкладу начисляются непрерывно (). Тогда размер вклада за   лет составит

.(4.31)

Формула (11.24) выражает собой показательный (экспоненциальный) закон роста.

Заменив  на , получим показательный закон убывания:

.  (4.32)

Например, если население страны возрастает на 2 % в год, то по формуле (11.24) можно с неплохим приближением подсчитать численность населения страны через  лет: , где  – численность населения в начале отсчета.

Пример 15. Пусть темп инфляции составляет 1 % на день. На сколько уменьшится начальная сумма через полгода.

 Обозначим через  начальную сумму. Тогда по формуле (4.32), с учетом того, что  (количество дней за полгода), получим

,

т.е. инфляция уменьшит начальную сумму примерно в шесть раз.

Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

  100 × (1 +1/10)10 » 259 (ден. ед.),

 100 × (1+1/100)100 » 270 (ден. ед.),

 100 × (1+1/1000)1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 4.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ xn -1 ½<e.

Возьмем любое e >0. Так как ½ xn -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<e. Отсюда n>1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что  xn = 1.

Пример 4.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом xn = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

xn = .

Пример 4.3. xn = . Найти  xn.

Решение. =.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 4.4. Найти  ().

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена:

  = .

Пример 4.5. Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что  не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е.  xn =0. Покажем, что величина f(xn)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть xn = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда   =  2n = +¥. Выберем теперь в качестве xn последовательность с общим членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю.   =  2- n=  1/2n = 0. Поэтому 2 1/x не существует.

Пример 4.6. Доказать, что  sin x не существует.

Решение. Пусть x1, x2,..., xn,... - последовательность, для которой
xn = ¥. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различных xn ®¥ ?

Если xn= pn, то sin xn= sin pn = 0 при всех n и sin xn =0. Если же
xn=2pn+p/2, то sin xn= sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно  sin xn =1. Таким образом,  sin x не существует.

Пример 4.7. Найти  .

Решение. Имеем:  = 5. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5.

Пример 4.8. Вычислить .

Решение. Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:

sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y.

=- .

Пример 4.9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. =.

Пример 4.10. Найти 1) ; 2) ; 3)  .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: =.

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

=.

Так как (x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем

  =  = .

3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

=.


На главную