Контрольная по математике

Умножение матриц

Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

тогда произведение  определено формулой

,

т.е. если , тогда

– элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы  равен скалярному произведению -ого столбца матрицы  (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

Пример 2. Пусть

Так как , то условие согласования для матрицы  выполнено и

.

Отметим также, что произведение  в данном случае не существует, так как для него не выполнено условие согласования.

Заметим, что существуют и другие способы умножения матриц, естественно, приводящие к другим результатам. Данный способ умножения матриц диктуется потребностями линейной алгебры и связан с произведением (композицией, суперпозицией) так называемых линейных преобразований. Всякое линейное преобразование определяется некоторой матрицей. Во второй части курса будет показано, что матрица произведения двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований в смысле введенного выше определения.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. êc ê = êa ê êb êsin (a^b).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a´ b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то

[ab] = =`i (a2b3 - a3b2) - `j (a1b3 - a3b1) + `k (a1b2 - a2b1).

Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то

abc = .

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = êa b c ê.

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом ао. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или êа ê, êАВ ê обозначаются модули векторов а и АВ.


Регистрация РЅР° сайте знакомств На главную