Контрольная по математике

Эквивалентные матрицы

1.12* Отношение эквивалентности

1.11 Эквивалентные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть . Будем говорить, что матрица  л‑эквивалентна (п‑эквивалентна или эквивалентна) матрице  и обозначать  ( или ), если матрица  может быть получена из матрицы  с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л‑эквивалентные и п‑эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым.

Пусть . Говорят, что ненулевая строка  этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент , что все элементы столбца , отличные от , равны нулю, . Отмеченный единичный элемент  строки  будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка  матрицы  имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец  вида

.

Например, в следующей матрице

строка  имеет приведенный вид, так как . Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки  претендует также элемент . В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.

Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица

имеет приведённый вид.

Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида.

 Действительно, если матрица  имеет вид (1.1) и , то после проведения в ней элементарных преобразований

 (1.20)

получаем матрицу

Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, л‑эквивалентную матрице

.

 ◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

. ►

Матрицу  удобно записывать в так называемом блочном виде

Отношение эквивалентности.

 Пусть  – непустое множество произвольной природы и   – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве  называется произвольное непустое подмножество   в . бинарное отношение на множестве   можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы  и  из множества  находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество  бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

Разложение матрицы в произведение простейших

1.13 Разложение матрицы в произведение простейших

 Пусть  – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из  можно представить в виде произведения

, (1.22)

где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица  имеет вид (1.21).

 ◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу   к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице  равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную  матрицу порядка , а проведение в  одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы  справа на некоторую элементарную матрицу  порядка , получаем матричное равенство

Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

 Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

1.14 Матричные уравнения Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

, (1.25)

, (1.26)

где  – известные матрицы, а  – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы  и  обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица  является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы  мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

 Предложение 1.8. Пусть матрицы  и  обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях  соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

Упражнения

 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

 2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

 3. Если матрица  имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

 4. Матрицы  и  имеют вид:

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

 Пример 10. Найти матрицу , если

.

 ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,   или .

Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

 В самом деле,

1) – 3 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

 Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

 Пример 12. Найти матрицу

,

если

 ◄ Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. ►

 9. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 10. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) ;

 в) .

 11. Найти матрицу , если

.

 12. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 Введём обозначение для степени матрицы

,

Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

.

 ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

.

 Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

.

,

 получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

 20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

 21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица  имеет вид:

 а) , б) , в) .

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

Пусть в системе координат 0хуz задана плоскость Р (рис. 4.2). Проведем из точки О луч, перпендикулярный к плоскости, называемый нормалью. Точку пересечения луча с плоскостью обозначим через D, а длину перпендикуляра OD - через p. Выберем на луче единичный вектор , координатами которого, согласно (3.10), будут направляющие косинусы, т.е. . Положительным направле-нием  будем считать направление от О к D. Если точки О и D совпадают, то выбирается любое из двух направлений на нормали.

Выведем уравнение данной плоскости Р, считая известными числа и  р.

Возьмем произвольную точку . Эта точка лежит на плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора  на нормаль  равна р, т.е.

 .

Эту проекцию, согласно (3.19), можно найти как скалярное произведение  на единичный вектор , т.е.

 .

Подставляя последнее выражение в левую часть предыдущего равенства, получим уравнение

 , (3.14)
которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальной форме.

Определим теперь расстояние d от точки  до плоскости Р, заданной нормальным уравнением (4.7).

Пусть Q - проекция точки  на нормаль (рис. 4.2). Тогда . Но так как точки  и начало координат О могут находиться как по разные стороны от плоскости, так и по одну сторону, то последнее равенство следует взять по модулю, т.е.

 .

Но , следовательно

 .

Вектор , а  . С учетом этого равенства

 , (3.15)
т.е. для вычисления расстояния d от точки   до плоскости Р нужно в левую часть его нормального уравнения (3.14) подставить вместо  координаты точки  и полученное число взять по модулю.

Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть (3.10) - общее уравнение плоскости, а (3.14) - ее нормальное уравнение. Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то умножая все члены (3.10) на некоторый множитель  , мы получим уравнение

 ,
совпадающее с уравнением (4.7), т.е. имеем

  , .

Чтобы найти множитель , возведем первые три из этих равенств в квадрат и сложим; тогда получим

 .
Но согласно (3.9) правая часть последнего равенства равна единице. Следовательно,

 . (3.16)
Число   называется нормирующим множителем уравнения (3.10). Для определения его знака используем равенство , т.е.  имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (4.2). Если , то знак  выбирается произвольно.

Если привести уравнение (3.10) с помощью (3.17) к нормальному виду, подставить вместо  координаты точки  и взять полученное число по модулю, то получим формулу для нахождения расстояния от точки  до плоскости в виде

 . (3.17)

Пусть даны две плоскости

  ,(3.18)
пересекающиеся по некоторой прямой . Проведем плоскость Р, перпендикулярную к линии . Эта плоскость пересекается с  и  по прямым  и . Угол  между прямыми  и  называется углом между плоскостями  и . Поскольку  и , то угол между векторами  и  ревен углу  между плоскостями  и . Тогда

.  (3.19)
Второй угол равен .

Две плоскости (4.11) параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы   и  и наоборот. Таким образом, исходя из (3.12), имеем

 . (3.20)

Две плоскости (4.11) взаимно перпендикулярны, если ортогональны их нормальные векторы  и  и наоборот. Таким образом, исходя из (3.23), имеем

  . (4.14)


Чешский технический университет РІ Праге оплата Р·Р° обучение На главную