Контрольная по математике

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

 Пример 10. Найти матрицу , если

.

  ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,   или .

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

 В первом случае последовательность вычислений такова:

 1) – 6 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

  Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.

 Во втором случае:

1)  – 12 ПСУ

2)  – 12 ССУ

3)  – 8 ССУ.

  Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.

Теорема Коши. Пусть функции  и  удовлетворяют следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы на интервале ;

3) , .

Тогда существует хотя бы одна точка  такая, что справедлива формула

.  (14.62)

 □ Отметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля на  нашлась бы точка , такая, что , что противоречит условию  .

Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Функция : 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) . По теореме Ролля существует точка , такая, что . Так как

, то .

Откуда, учитывая, что , и получаем формулу (14.62). ■

Теорема Лагранжа Пусть функция  удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале

 Тогда существует хотя бы одна точка , такая, что справедлива формула

   . (14.63)

□ Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим , , .

Подставляя эти значения в (14.62), получим формулу (14.63). ■

Равенство (14.63) называется формулой конечных приращений или формулой Лагранжа. Ее часто записывают в виде

,

где   – некоторое число, при котором . Если положить , то получим

. (14.64)

Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись в виде (14.63).


На главную