Контрольная по математике

Дифференциал функции

Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy

Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала: .

. Таким образом, .

2. Производные и дифференциалы высших порядков

Пример. Дана функция Найти

Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала: . Для того. Чтобы найти вторую производную , продифференцируем данную функцию последовательно дважды:

 ; Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума

.

Таким образом,

задачи

Выполнить, если возможно, действия с матрицами:

; где

  .

Даны векторы: . Найти площадь треугольника, который образуют эти векторы, отложенные из одной точки

Даны векторы: . Найти:

 векторное произведение ; скалярное произведение

Вычислить пределы:

;  ;    ; ;   ; ;

Дана функция у=у(х). Найти: y´; dy

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Рассмотрим пример. Найти.

Решение.- это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению, . Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т.к. при справедливы неравенства , а , очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, , где - квадрат, а - четверти круга, соответственно, радиусов . Т.к. , то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла . В интеграле п перейдем к полярным координатам:. Аналогично, и . При стремлении получаем, что , т.е. .

4.Тройной интеграл. Его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .


На главную