Контрольная по математике. Методические указания

Контрольная работа №2

Некоторые приложения двойных интегралов

Тройной интеграл

При помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Векторная функция скалярного аргумента

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Соленоидальное векторное поле

Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.

Задача. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,

Задача. Поверхность задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Задача. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

Задача. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Задача. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Задача. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Полное приращение и полный дифференциал ФНП Полным приращением функции двух переменных z= f (xy) в точке (xy), вызванным приращениями аргументов  и , называется выражение .

Производные ФНП высших порядков

Частные производные ФНП, заданной неявно Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOyсоответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию . Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению Говорят, что в двумерной области D xOyзадано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î Dзадана скалярная функция координат точки: U(M) = U(x, y).

Функции комплексной переменной

Некоторые приложения тройных интегралов

Векторная функция скалярного аргумента Если каждому значению параметра tиз некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью

Задача Дана функция z= cos2 (2xy).

Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 

Дана функция двух переменных: z = x2xy + y2 – 4x+ 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy:x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Задача Поверхность задана уравнением z =  + xy – 5 x3 . Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0 , y0 , z0 ), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.

Задача. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Задача Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0.

Задача Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точкуN(–1,2,3).

Пример Найти произведение матриц А=  и В = .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Метод Гаусса

Кривые второго порядка: гипербола, парабола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Основные задачи на прямую в пространстве Прямая линия в пространстве. Основные формулы: Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид (1) ьгде x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

Метод подведения под знак дифференциала Пусть требуется вычислить Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Метод интегрирования по частям

Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида Пример Вычислить интеграл

Задача . Изменить порядок интегрирования.

Полярная система координат:

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.ь

Задача. Исследовать ряд на сходимость.

Задача. Найти сумму ряда.

Найти решение задачи Коши.

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Найти неопределенные интегралы.  

Задача. Вычислить определенные интегралы

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Вычислить пределы функций.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Геометрические и физические приложения Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий   (направление обхода положительно).

Непосредственное интегрирование. Пример Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например: Пример. Вычислить определенный интеграл 

Решение: Определенный интеграл от любой непрерывный функции f(x) вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница где F(x) – первообразная для f(x).

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона. Рассмотрим пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, положив n=4. ьФормула Симпсона приближенного интегрирования позволяет численно определить значение интеграла без нахождения первообразной. Для этого достаточно вычислить значение функции в n=4 точках, полученных в результате разбиения отрезка   на n отрезков (n – четное число)   шаг разбиения   значение подынтегральной функции на концах отрезков.

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных. вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Вычислить двойной интеграл. По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.ь Решение: Изобразим область D. Кривые, задающие область D представляют собой параболы. Составив из их уравнений систему и решив её, найдём точки их пересечения.

Пример.  Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

На главную