Предел функции свойства пределов

Начертательная геометрия
Виды проецирования
Проецирование точки на две плоскости проекций
Натуральная величина отрезка прямой
Взаимное положение двух прямых
Плоскость
Прямая и точка в плоскости
Параллельность плоскостей
Параллельность прямой и плоскости
Основные задачи замены плоскостей проекций
ОБРАЗОВАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цилиндроид, коноид, косая плоскость.
Пересечение поверхностей плоскостью
Прямой круговой усечённый конус
Сущность аксонометрического проецирования
Косоугольная фронтальная диметрия
 
Французский стиль в русской архитектуре
Архитектура барокко во Франции
Строительство королевского дворца Лувра
павильон версальского парка — Малый Трианон
Рококо
Главный корпус Педагогического института (Герцена)
Ампир
Русский ампир в архитектуре
Величайший из зодчих России Растрелли
здание Академии художеств в Петербурге
Французский классицизм в Москве VII-XVIII
Московский Воспитательный дом
Архитектура Таганрога
Билеты по истории искусства
Архитектура Англии
Архитектура Франции
Архитектура Германии
Антуан Жан Гро
Романтизм

ПЕЙЗАЖ В АНГЛИИ

Немецкий романтизм
Филипп Отто Рунге
Эжен Делакруа
Барбизонская школа
Ренуар Пьер Огюст
Баухауз
художники Шлеммер, Пауль Клее, Георг Мухе, Лион Файнингер.
Японское жилище
Архитектура

Архитектура России конца XIX начала XX века

Архитектура и скульптура готики
Архитектура Франция
Франция — родина готических соборов.
Готический стиль в Германии
Клаус Слютер Пророк Даниил Колодец пророков
Американский дизайн и архитектура
идеи Готфрида Земпера
Влияние современного искусства на дизайн и архитектуру ХХ века
Русский авангард
Авангардизм
Работы Малевича и Лисицкого
объединение “Синий всадник”
Творчество Татлина, Родченко и Степановой
Развитие архитектуры в первые годы Советской власти
 

Функции

Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .

Рассмотрим различные способы задания функций. Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Элементарные функции постоянная у = с, с – константа, степенная у = xp, показательная у = aх (а>0), логарифмическая у = logaх (а>0, a¹1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х и обратные тригонометрические у = arcsin х,
у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, а также гиперболические:

Дробно-рациональные функции (рациональные дроби). К этому классу относятся функции, которые могут быть заданы в виде , где Р(х) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) – ненулевой многочлен.

Предел функции по Гейне Первое определение предела функции

Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.

Предел функции по подмножеству При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.

Непрерывные функции Критерий существования предела функции в точке Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке. Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.

Предел функции по Коши Второе определение предела функции Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Эквивалентность двух определений предела функции Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, лежащих по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами. Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.

Свойства пределов функции Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций. Свойство. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0. Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Классификация бесконечно малых функций Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.

Классификация бесконечно больших функций Для бесконечно больших величин может быть развита та же классификация.

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Точки разрыва функции и их классификация Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Критерий существования предела функции Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Критерий Коши существования предела функции В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.

Предел и непрерывность композиции функции Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиции функций, каждая из которых имеет соответствующий предел. Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения.

Свойства функций, непрерывность на отрезке Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности

Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций Теорема (теорема Больцано–Коши).

Непрерывность на отрезке Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)). Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной. В силу леммы 6, функция  однозначная и строго возрастает на отрезке Равномерная непрерывность

 

На главную