Исследование функций Интегральное исчисление

Исследование функций

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует)

Исследовать функцию  и построить ее график.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности

Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Построим график функции, используя результаты исследования

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Таблица основных интегралов. Вычислить интеграл .

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ; В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: 

Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной. Определить вид кривой .

Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами

Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах Вычислить интегралы с помощью вычетов Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением .

Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу.

Скалярное и векторное поле Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что  - непрерывно дифференцируемая функция от .

Соленоидальное поле Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса Пусть  - контур с заданным направлением обхода,  - векторное поле,  - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл  (смысл – работа силы  вдоль контура ).

Кратные и криволинейные интегралы.

Задача Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования . Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода.

Найти интеграл . Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

Найти интеграл . Найти интеграл . . . .

Вычислить интеграл  .

Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:   где Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L

Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Найти величину и направление наибольшего изменения поля  в точке

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Найти общее решение дифференциальных уравнений .

Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Найти общее решение дифференциального уравнения *. Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Решить уравнение . Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Ряды.

Исследовать на сходимость числовые ряды: Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью  интеграл .

Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Разложить данную функцию в ряд Фурье Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Задача. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.

Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага.

Задача. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

 

На главную