Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Операционное исчисление

Простейшие свойства преобразования Лапласа

Интегрирование оригинала

Дифференцирование оригинала

Интегрирование изображения

Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения Теорема о запаздывании оригинала

Найти изображение функции, представленной графиком

Изображение периодического сигнала

Если  есть –периодическая функция, то  – периодический оригинал. График его есть график функции, построенный на  и периодически продолженный на . Представим изображение периодического оригинала в виде

.

Основные свойства преобразования Лапласа

Пример. Найти оригинал для изображения .

Пример. Восстановить оригинал по изображению

Обращение преобразования Лапласа Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.

Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений

ПРИМЕР. Найти частное решение уравнения ,

Свертка односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля

Пример. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Формулы Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений

Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Теорема Фурье Пусть функция  1) абсолютно интегрируема на ; 2) кусочно-гладкая на   при любом . Тогда имеет место интегральная формула Фурье. Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ к ИФ требует специального обоснования. Нельзя переходить к пределу при  непосредственно в ряде, так как обычная интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения.

Спектральные характеристики функции

Различные записи интеграла Фурье

Проиллюстрировать теорему о свертке оригиналов для функций

Дельта -функция, ее свойства

Пример. Найти изображения функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задача. Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы

 Задача . Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

Задача . Решить систему

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

В основе операционного исчисления лежит преобразование Лапласа Множество функций-оригиналов отображается в множестве функций-изображений, при этом операции над оригиналами переходят в некоторые операции над изображениями. В частности, операции дифференцирования и интегрирования оригиналов переходят в действия соответственно умножения и деления во множестве изображений. Поэтому линейное дифференциальное уравнение в множестве оригиналов преобразуется в алгебраическое уравнение в множестве изображений. Решив полученное алгебраическое уравнение, находим прообраз его решения в множестве оригиналов, затем восстанавливаем решение исходного дифференциального уравнения.

Такова основная идея применений операционного вычисления как символического метода решения некоторых дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

В настоящее время операционное исчисление широко используется для решения многих прикладных задач, в частности задач радиотехники и электротехники.

ОРИГИНАЛ. ИЗОБРАЖЕНИЕ

Оригиналом или начальной функцией называется функция  действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:

1)   ;

2) при  функция  имеет на каждом отрезке конечной длины пустое или конечное множество точек разрыва первого рода;

3) при  функция  возрастает не быстрее показательной функции, т.е. ,  такие, что выполняется неравенство   , обычно под числом  – показателем роста функции  – понимается наименьшее из возможных чисел.

ПРИМЕР 1. Единичная функция Хевисайда обозначается через  и записывается в виде  график ее представлен на рисунке. Функция   является оригиналом, причем , .

Очевидно, что для произвольной функции , определенной на  и удовлетворяющей условиям 2 и 3, произведение  является оригиналом (например, ,   и т.д.)

ПРИМЕР 2. Функция  является оригиналом, причем для всех  имеем , т.е. , .

ПРИМЕР 3. Функция  не является оригиналом, поскольку в точке  функция имеет разрыв второго рода.

ПРИМЕР 4. Функция  не является оригиналом, так как при  растет быстрее любой показательной функции вида .

Нетрудно проверить, что произведение оригинала на число, сумма и произведение конечного множества оригиналов есть также оригинал.

Изображением (по Лапласу) оригинала  называется комплекснозначная функция  комплексной переменной (иногда ), определяемая интегралом Лапласа:

.  (1)

Здесь интегрирование проводится по действительной переменной , , т.е. интеграл (1) является несобственным, зависящим от параметра , причем область определения функции  является совокупностью тех комплексных чисел , для которых интеграл (1) имеет смысл.

Переход от оригинала  к изображению  по формуле (1) есть преобразование Лапласа (сокр. ПЛ); будем обозначать его так:

(читается: "оригиналу  соответствует изображение ").

Теорема (существования изображения)

Пусть  – показатель роста функции . Тогда интеграл Лапласа сходится для всех   таких, что , причем для , удовлетворяющих условию  ( – некоторое число, большее ), сходимость является равномерной.

Справедливость теоремы следует из соотношений: ,  и оценки модуля интеграла Лапласа

,  (2)

верной для всех  из промежутка .

Следствие. Из соотношения (2) имеем равенство

.  (3)

Теорема (об аналитичности изображения)

Изображение Лапласа  для оригинала  с показателем роста  является аналитической функцией переменной  в области .

Доказательство теоремы проводится аналогично.

Теоремы показывают, что не всякая функция от  может быть изображением некоторого оригинала. Изображение  должно быть аналитической функцией комплексной переменной, в частности, удовлетворяющей условию (3), в области . Впредь будем рассматривать   в области ее существования.

ПРИМЕР 5. Изображение для оригинала  найдем по формуле (2), а именно: .

Здесь при подстановке верхнего предела имеем , так как , .

Итак, , т.е. получаем соотношение .

ПРИМЕР 6. Часто используется оригинал ,  – действительное или комплексное число, а именно:

, т.е. .

Здесь предполагается, что , т.е. . В частности, изображение функции ,  находится аналогично и определяется соотношением

.

Заметим, что иногда для краткости записи оригинала множитель   опускается, и оригинал вида  записывается в виде .

Задание

Установить, являются ли оригиналами следующие функции: ; ; , ?

Ответы: нет, нет, нет, да.

Используя формулу (1), найти изображение функции .

Ответ: .


На главную