Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Если сходится ряд, составленный из модулей слагаемых ряда ,

,

то сходится и сам ряд.

Доказательство. Поскольку , где  и , то , . Применяя признак сравнения для знакоположительного ряда, получаем сходимость ряда . Аналогично получаем сходимость ряда . Но тогда, согласно теореме о необходимом и достаточном условии сходимости, сходится ряд .

Понятия абсолютной и условной сходимости для комплекснозначных рядов вводятся аналогично уже рассмотренным.

Учитывая соотношение

,

можно утверждать, что если ряды  и  абсолютно сходятся (одновременно), то ряд  абсолютно сходится.

Поскольку  или , то можно утверждать, что если хотя бы один из рядов   и  условно сходится (или расходится), то сам ряд  условно сходится (или расходится).

ПРИМЕР 7. Исследовать поведение ряда

.

Общий член этого ряда  довольно трудно представить в виде суммы , поэтому использование теоремы о необходимом и достаточном условии сходимости затруднено.

Найдем . Ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда , сходится (можно доказать с помощью интегрального признака). Поэтому сходится абсолютно исходный комплекснозначный ряд.

ПРИМЕР 8. Ряд  сходится, так как ряды  и  сходятся. Но ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда , расходится (достаточно сравнить его с рядом ). Поэтому ряд условно сходится. Можно сделать этот вывод из условной сходимости ряда .


На главную