Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

ФКП

Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА

ФКП "гиперболический синус"  и ФКП "гиперболический косинус"   определяются как суммы соответствующих степенных рядов

;

область сходимости этих рядов – вся  – плоскость.

Свойства  и

1.  – нечетная,   – четная ФКП на  – плоскости.

2. Связь с показательной ФКП  определяется формулами

.

3. Гиперболические ФКП  и  являются периодическими с множеством периодов .

4. Связь гиперболических и тригонометрических ФКП определяется формулами

;

,

которые легко проверить непосредственно по определению функций.

5. Можно доказать, что существует "гиперболическая тригонометрия", т.е. имеют место некоторые тождества, связывающие гиперболические ФКП аналогично формулам тригонометрии, например,

,

,

 и т.д.

Например, из тождества  для  получаем .

6. При  гиперболические функции  и  можно интерпретировать соответствующими графиками, значения  и   даны в таблицах (см. [6]).

ПРИМЕР 5. Вычислить .

Решение

.

Применили формулу для  (см. пример 3).

ПРИМЕР 6. Найти образ полосы  (см. рисунок) при отображении .

Решение.

, т.е.  Находим образ границы полуполосы: для  имеем  – верхняя полуось , , точка  переходит в ; для ,  имеем  – отрезок  оси , причем при  изменение  определяется неравенствами  и при  соответственно , точка  переходит в , т.е. отрезок  оси  отображается в отрезок , проходимый точкой  дважды; для   имеем  – нижняя полуось .

Применяя свойство сохранения ориентации границы и области при отображении , можем сделать вывод: образом рассматриваемой полуполосы является полуплоскость , за исключением точек отрезка   оси .

Функции  и  вводятся с помощью  и ; их свойства устанавливаются на основе свойств ФКП   и .

14.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФКП

Для ФКП , ,  можно рассматривать обратную ФКП , которая определена на множестве , имеет значения из множества   и удовлетворяет соотношению . Обратная ФКП может быть как однозначной, так и многозначной. Например, для линейной ФКП  (), отображающей  – плоскость в  – плоскость, обратная ФКП  (ее обычно записывают в виде , т.е. переобозначают переменные); обе функции однозначные и определены на () – плоскости. Для ФКП , отображающей  – плоскость в () – плоскость, обратная ФКП  или в привычных обозначениях   является двузначной, определена на  – плоскости.

Для показательной ФКП  ( – любое) обратной ФКП является ФКП  или после переобозначения переменных .

Свойства

1. Равенство  эквивалентно равенству , откуда получаем   или  и  или , . Итак,  или после переобозначения переменных имеем

,

здесь через  обозначается "натуральный логарифм" действительного числа , т.е. , через  – значения комплекснозначного логарифма комплексного числа .

2.  – бесконечно значная ФКП, при каждом конкретном значении  имеем однозначную ветвь логарифмической ФКП. При   однозначную ветвь  обозначают через  и называют главным значением (главной ветвью) логарифмической ФКП, т.е.

.

3. При   совпадает с , поэтому естественно ожидать, что некоторые свойства для  распространяются на . В частности, имеют место формулы

;

;

(заметим, в частности, что выражение вида  следует понимать в смысле суммирования каждого значения одного логарифма с каждым значением другого логарифма).

4. С помощью логарифмической ФКП определяется значение общей показательной функции  по правилу

.


На главную