Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.

Решение. Заданная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ТРФ, т.е.

.

Из (19) получаем  

.

Итак, окончательно имеем

; (22)

в точках разрыва сумма ряда имеет значение .

От комплексного представления ТРФ функции всегда можно перейти к действительной форме этого ряда. В самом деле, из (18) имеем

. (23)

Для ТРФ (22) получаем

, (); аналогично

.

Итак, соотношение (22) в действительной форме имеет вид

 или

.

15.6. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Пусть функции  представлена ТРФ в комплексной форме соответственно (21). Здесь суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным значениям , т.е. комплексная форма ТРФ допускает существование и положительных, и отрицательных частот .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность (19) комплексных коэффициентов Фурье функции  называется спектральной последовательностью функции или комплексным частотным спектром периодической функции .

Числа  – комплексные, модуль и аргумент этих чисел составляют спектральные характеристики функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность , где

, (24)

называется амплитудным частотным спектром функции;

последовательность , где

, (25)

называется фазовым частотным спектром функции. Для нахождения  можно использовать формулы

.

Для наглядного представления частотных спектров  и  периодической функции их изображают графически. Для этого на оси  откладывают частоты ,  и для каждой частоты строят отрезок длиной  или  перпендикулярно оси ; при построении  учитывается знак .

В силу кратности частот гармоник имеем

. (26)

Поэтому каждый частотный спектр состоит из равноотстоящих параллельных отрезков. Спектры периодической функции дискретны, их называют также линейчатыми гармоническими спектрами функции.

Отметим некоторые свойства частотных спектров периодической функции:

1. Амплитудный частотный спектр неотрицателен  для всякого .

2. Поскольку   и  – комплексно-сопряженные числа (см. (18)), то амплитудный частотный спектр является симметричным относительно прямой  (четно-симметричен), т.е.

, (27)

а фазовый частотный спектр является симметричным относительно точки   на оси  (нечетно-симметричен), т.е.

. (28)

3. При  значение амплитуды  стремится к
нулю, поэтому амплитудный частотный спектр обладает свойством асимптотичности по отношению к оси .

4. Фазовый частотный спектр (25) ограничен.

Заметим, что между периодическими функциями (из достаточно широкого класса функций) и их частотными спектрами существует взаимно-однозначное соответствие, благодаря чему в некоторых технических задачах оказывается удобным заменять операции над периодическими процессами операциями над их частотными спектрами.

 


На главную