Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Условия дифференцируемости ФКП

С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

ФКП , определенная в области , называется дифференцируемой в точке , если существует конечное число  такое, что приращение функции в этой точке , соответствующее , может быть представлено в виде

, (2)

где ФКП   удовлетворяет условию

. (3)

Из (2) и (3) видим, что существование производной  и
выполнимость равенства (2) эквивалентны, т.е.  дифференцируема в точке  тогда и только тогда, когда существует .

ФКП , определенная в области , называется
дифференцируемой на области , если она дифференцируема в каждой точке этой области. Не всякая ФКП является дифференцируемой в области.

Одной из основных теорем теории ФКП является теорема об условиях дифференцируемости ФКП (см. [1]).

Пусть ФКП  определена в некоторой
окрестности точки , причем в соответствующей точке  функции  и  дифференцируемы как действительные функции двух действительных аргументов.

Тогда для дифференцируемости ФКП  в точке  необходимо и достаточно выполнение в точке  равенств

, (4)

называемых обычно условиями Коши–Римана (или Эйлера–Даламбера). При этом для дифференцируемой ФКП  значения ее производной можно вычислять по любому из выражений

. (5)

Заметим, что дифференцируемость функции  и  в точке можно установить, используя достаточное условие дифференцируемости действительной функции нескольких переменных: если все частные производные первого порядка ,  функции  непрерывны в точке , то функция  дифференцируема в этой точке.

ПРИМЕР 1. Доказать, что ФКП  всюду дифференцируема, и найти .

Решение. Имеем , . Функции , , ,  – непрерывны всюду;
условия Коши – Римана (4) очевидно выполнены. Поэтому получаем из (5) , т.е.  .


На главную