Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Аналитичность ФКП

Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной.

Однозначная ФКП   называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Однозначная ФКП  называется аналитической в точке
некоторой области , , если она аналитическая в некоторой окрестности этой точки.

Однозначная ФКП  называется аналитической в точке , если ФКП  – аналитическая в точке ;
при этом принимается

. (7)

Точки, в которых ФКП является аналитической, называются правильными точками ФКП. Если ФКП – аналитическая во всех точках области, за исключением некоторых точек, то эти точки называются особыми точками ФКП (сокращенно ОТ). Впредь будем рассматривать ФКП, имеющие лишь изолированные ОТ.

Доказано, что всякая однозначная элементарная ФКП является аналитической всюду в области определения. Например, ФКП , , , , ,  – аналитические ФКП всюду в –плоскости; при  они не являются аналитическими, т.е.  – ОТ этих функций. Однозначные ветви ФКП , обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций – всюду аналитические ФКП в области определения, так, например, ФКП  имеет ОТ  и .

Сумма, разность и произведение (конечного множества) аналитических в области  ФКП есть аналитическая в области  ФКП. Отношение двух аналитических в области  ФКП  
является аналитической ФКП во всех точках области , за исключением тех точек, в которых знаменатель  обращается в нуль.
В частности, дробно-рациональная ФКП  всегда имеет конечное множество (не более "") изолированных ОТ – нулей знаменателя .

ПРИМЕР 6. Выяснить, является ли ФКП  аналитической ФКП в каких-либо точках.

Решение. , функции ,  имеют всюду непрерывные частные производные первого порядка, но условия дифференцируемости (4) выполняются только в точке , т.е. ФКП  дифференцируема только в . Функцию нельзя назвать аналитической в точке , так как по определению она должна быть дифференцируемой не только в точке, но и в некоторой окрестности этой точки.

Итак,  не является аналитической ни в одной точке, хотя в точке  она дифференцируема. Очевидно, аналогичными свойствами обладает всякая действительнозначная ФКП.

ПРИМЕР 7. Указать область аналитичности ФКП

.

Решение. ФКП , как отношение двух многочленов, всюду аналитическая, кроме нулей знаменателя , .

Задание

1. Изучить поведение ФКП  в окрестности ОТ.

Ответ: ФКП  имеет две ОТ:  и . Поскольку

,

то ФКП   – ограниченная в окрестности ОТ .

В окрестности ОТ  ФКП  не является ограниченной, т.к. .

2. Указать область аналитичности ФКП .

Ответ: все точки –плоскости, кроме ,  и .

3. Изучить аналитичность ФКП .

Ответ: всюду неаналитическая.


На главную