Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Пример. Убедиться, что для ФКП  ряд Лорана по степеням   состоит из конечного числа слагаемых.

Решение. Точка  – единственная особая точка функции,
поэтому  в кольце  может быть разложена в ряд Лорана. Разложение удобно провести, используя разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:

. (6)

Это представление функции и определяет ее ряд Лорана в указанном кольце, т.е. ряд по степеням   состоит из конечного множества (трех слагаемых) слагаемых, образующих главную часть ряда Лорана.

ПРИМЕР 8. Разложить ФКП  по степеням .

Решение. Точка  – особая точка функции. Используя разложение   по степеням , получаем

;

здесь ряд Лорана состоит из правильной части (первое слагаемое) и главной части, имеющей бесконечное множество слагаемых.

Если ФКП имеет несколько особых точек, то разложение ее в ряд Лорана может быть получено в каждом из колец аналитичности; естественно, что получающиеся ряды Лорана различны.

Пусть для определенности  имеет только две особых точки:   и , . Тогда можно рассмотреть следующие
ситуации.

1. Точка  не является особой точкой функции, т.е. . Обозначим ,   и предположим для конкретности . Тогда ФКП  может быть
разложена по степеням  в следующие ряды:

1) ряд Тейлора в круге аналитичности ;

2) ряд Лорана в кольце аналитичности ;

3) другой ряд Лорана в кольце .

2. Точка  совпадает с одной из особых точек, например, . Тогда ФКП может быть разложена в ряды:

1) ряд Лорана в кольце аналитичности ;

2) другой ряд Лорана в кольце .


На главную