Векторная алгебра Исследование функций Типовой (курсовой) расчет Интеграл Фурье Матрицы


Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Пример Для  убедиться в выполнении равенства (9).

Решение. Особые точки функции определяются корнями уравнения , т.е. , , . Каждая из
точек является простым полюсом, поэтому имеем ; , .

Чтобы найти вычет функции в бесконечности, разложим функцию   по степеням  в окрестности точки   вне особых, т.е. в области . Получим

. Поскольку , то . Складывая значения вычетов в особых точках и в бесконечности, получаем

.

Задание. Для ФКП  убедиться в выполнении
равенства (9).

Ответ: Особые точки  – простые полюса, вычеты в них равны ; .

Сумма всех вычетов  равна нулю.

20.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ФКП

С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

Используя основную теорему о вычетах, можно вычислять некоторые интегралы ФКП.

ПРИМЕР 6. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция  имеет внутри контура интегрирования две особые точки:  – полюс 3-го порядка и  – простой полюс. Находим вычеты в этих точках:

.

.

По формуле (8) получаем .

Заметим, что интеграл примера 6 можно вычислить и иначе:

дробно-рациональную ФКП   разложить на сумму простейших дробей, интеграл разбить на сумму более простых интегралов и вычислить их, используя формулы (10), (11) (см. гл. 3). Вычисление контурных интегралов ФКП через вычеты, как правило, является
более экономичным.


На главную